[프로그램] 벡터의 내적
벡터의 내적
목차
- 내적(스칼라곱 또는 점곱, dot product, inner product)
- 내적의 계산 과정
- 반사 벡터 구하기
- 투영
| 내적(스칼라곱 또는 점곱, dot product, inner product)
왼쪽이 렌더링된 결과물이며 오른쪽 그림은 카메라와 물체의 관계를 옆에서 바라본 모습입니다. 빨간색 화살표으로 표시된 벡터 A는 각 폴리곤의 법선 벡터를 표시한 것입니다.
붉은색으로 그려진 (벡터 Af)선은 각 폴리곤으로부터 카메라쪽으로 향하는 벡터를 나타낸 것입니다.
그림으로 봤을 때 이 두 벡터 사이의 각도가 90도 이하면 해당 폴리곤은 카메라쪽을 바라보고 있다고 판단할 수 있습니다.
반대로 각도가 90도 보다 크면 카메라를 등지고 있다고 판단할 수 있죠(Ab).
카메라를 등지고 있는 폴리곤은 어차피 보이지 않을 것이므로 계산에서 제외한다면 렌더링 성능이 훨씬 올라가겠죠.
그렇다면 도대체 내적이 어떻게 계산 되는 것이길래 위와 같은 구현이 가능한지 지금부터 알아보도록 하겠습니다.
| 내적의 계산 과정
벡터의 내적을 계산하기 위해서는 먼저 차원이 같은 두 벡터가 필요 합니다.
벡터의 각 성분들끼리 곱셈을 한 뒤 그 결과를 더해주면 내적이 계산 됩니다.
곱하기와 더하기만 할 줄 알면 되기 때문에 어려운건 없겠죠?
a = [2, 2]
b = [-1, 0]
a∙b = [2 x –1] + [2 x 0]
= -2 + 0
= -2
c = [-2,-2]
b = [-1, 0)
c∙b = [-2 x –1] + [-2 x 0]
= 2 + 0
= 2
내적의 계산은 이게 끝입니다. 간단하죠?
(∙는 내적의 기호입니다)
여기서 알 수 있는 사실은 두 벡터를 내적하면 벡터가 나오는 것이 아니라 단순한 숫자값이 나오게 된다는 것입니다.
또한 이 결과값의 부호를 통해서 폴리곤의 면이 카메라를 향하고 있는지 또는 등지고 있는지를 알아낼 수 있습니다.
내적의 결과가 양수(+)로 나온다면 두 벡터 사이의 각이 90도 보다 같거나 작다는 뜻이며
결과가 음수(-)로 나온다면 두 벡터 사이의 각이 90도 보다 크다는 뜻입니다.
이 그림을 다시 보면,
벡터 Af와 카메라를 향하는 시선 사이의 각도가 90도 보다 작다는 것을 알 수 있습니다.
벡터 Au도 마찬가지죠.
반면 벡터 Ab와 Ad는 카메라와의 각도가 90도 보다 크다는 것을 그림을 통해 알 수 있습니다.
즉, 벡터 Af와 Au를 각각 카메라를 향하는 벡터와 내적을 하면 그 결과값은 양수로 나오게 되며 두 벡터 사이의 각은 90도 보다 작다는 뜻입니다.
반면 벡터 Ab와 Ad를 각각 카메라를 향하는 벡터와 내적을 하면 그 결과값은 음수로 나오게 되며 두 벡터 사이의 각은 90도 보다 크다는 뜻입니다.
여기서 중요한 것은 각도가 몇 도 인지 까지는 계산할 필요 없이, 내적의 결과값의 부호만으로 각도의 범위를 알아낼 수 있다는 것입니다.
두 벡터 사이의 각도를 구하려면 삼각함수인 acos(아크코사인)함수를 사용해야 하는데 삼각함수를 많이 사용하면 프로그램의 성능이 하락될 수 있습니다.
따라서 몇 번의 곱셈과 덧셈만으로 끝나는 내적을 사용하는 것이 훨씬 이득이 되는 것이죠.
| 반사 벡터 구하기
내적을 이용하면 반사벡터도 쉽게 구할 수 있습니다.
벽에 부딪친 당구공이 어느 방향으로 튕겨 나가는지 상상해 본다면 반사벡터의 모습이 머릿속으로 그려질 것입니다.
벡터 p가 공의 속도벡터라고 한다면 반사벡터를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
알기 쉽게 프로그래밍 언어로 표현한다면 이렇게 됩니다.
- Vector3 reflect = velocity + 2 * normal * Vector3.Dot(-velocity, normal);
더 알기 쉽게 그림을 통해서 배워보겠습니다.
n은 벽의 법선벡터를 뜻합니다.
공은 벽을 향해 대각선 방향인 p의 속도로 움직이고 있습니다. 여기서 p는 공의 속도 벡터입니다.
-p : 반사벡터를 구하기 위한 첫 번째 과정으로 p의 방향을 바꿔 줍니다.
-p∙n : -p와 벽의 법선벡터인 n을 내적 합니다. 내적의 결과로 스칼라값 하나가 나옵니다.
2n(-p∙n) : 내적의 결과값과 법선벡터 n을 두배하여 곱해줍니다. 결과적으로 법선벡터 n을
길게 늘려준 벡터가 생기게 됩니다.
p+2n(-p∙n) : 위 결과값에 p를 더해서 반사 벡터를 구합니다.
크기와 방향이 같으니 어디에 있던지 결국에는 똑같은 벡터입니다.
최종적으로 p의 반사 벡터가 구해졌습니다.
| 투영
반사 벡터를 구하면서 내적의 쓰임새에 대해서 알아봤습니다.
하지만 아직 첫부분에 나온 백터의 정의를 이해하기에는 무리가 있습니다.
왜냐하면 우리는 아직 삼각함수를 배우지 않았기 때문이죠.
내적의 정의에 나온 cos(코사인)은 삼각함수의 한 부분인데 내적과 cos을 연결시켜서 이해하려면 벡터뿐만 아니라 삼각함수에 대한 이해까지도 필요합니다.
이 부분은 앞으로 나올 삼각함수 챕터에서 자세히 다루도록 하겠습니다.
여기서 이해해야 할 부분은 벡터의 내적을 통해서 한 벡터가 다른 벡터에 투영된 길이를 알 수 있다는 것입니다.
투영이란 그림자라고 이해하면 쉬울 겁니다.
반사벡터를 구할 때 벡터 -p를 벽의 법선 벡터인 n과 내적 하여 계산했는데요,
이 내적의 결과로 나온 값은 벡터 -p를 법선 벡터 n에 투영한 길이가 됩니다.
단, 법선 벡터 n은 반드시 단위 벡터 상태로 되어 있어야 합니다.
(단위 벡터는 길이가 1인 벡터를 의미 합니다)
아까 반사 벡터를 구할 때 봤던 그림입니다.
벡터 n을 위로 쭉 이은다고 생각하면 가상의 선이 그려지겠죠.
이 선을 향해서 벡터 –p를 직선으로 그었을 때 만나는 점, 그 점의 길이가 바로 내적의 결과값 입니다.
위 그림에서는 점선으로 표시한 부분과 벡터 n의 연장선이 만나는 지점이 됩니다.
이 값을 수학적인 방법 없이 구하려고 한다면 머리가 좀 아플겁니다.
(물론 자로 정확하게 그어서 그 길이를 재면 되겠지만 컴퓨터 메모리상에서는 자를 사용할 수 없으니 수학적인 방법을 쓸 수 밖에 없습니다)
| 마치며
이번장에서는 벡터의 내적에 대해서 알아봤습니다.
내적의 기본 개념을 익힌 상태지만, 다른장에서 계속 인용을 하게될테니, 앞으로 예제로서 이해하시면 보다 쉽게 익히실거라 생각됩니다.
그럼, 다른장에서 뵙겠습니다.
감사합니다. (-_-)(_-_)(-_-)
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